オイラー公式は極形式の複素数を $\sin$ と $\cos$ を使って直交形式に変換するための公式で、工学の世界では至るところで使われています。

定義は次のとおりです。

定義: オイラー公式の定義

$\theta$ を任意の実数とした時、

\[ \textrm{e}^{\{j\cdot \theta \}} = \cos \theta + \sin \theta \cdot j \]

このオイラー公式を変形することで $\cos$ と $\sin$ を複素数の和または差で表す事もできます。
文献によっては次の式をオイラー公式の定義としている場合もあります。

定義: オイラー公式の定義 2 \begin{align*} \cos \theta &= \frac{ \textrm{e}^{\{j\cdot \theta \}} + \textrm{e}^{\{-j\cdot \theta \}}}{2} \\ \\ \sin \theta &= \frac{ \textrm{e}^{\{j\cdot \theta \}} - \textrm{e}^{\{-j\cdot \theta \}}}{2 \cdot j} \end{align*}

どちらの定義も同じくらい良く使われるの覚えておくと良いでしょう。

なお

\[ \frac{1}{j} = \frac{j}{j^2} = -j = \textrm{e}^{\{-j \cdot \pi/2\}} \]

の関係があるので、定義その2の sin の式は次のように変形できます。

定義: オイラー公式の定義 2 の sin 変形版 \begin{align*} \sin \theta &= \frac{\textrm{e}^{\{-j\cdot \pi/2\}}}{2} \cdot \left \{ \textrm{e}^{\{j\cdot \theta \}} - \textrm{e}^{\{-j\cdot \theta \}} \right \} \end{align*}