安定なディジタル線形フィルタにディジタルサイン波を入力すると振幅と位相が変化したディジタルサイン波が出てきます。
ただし線形フィルタですので(角)周波数は変化しません。

この「サイン波を入力した時に振幅と位相がどの程度変化するか」を表すフィルタの性質のことを「周波数特性」とか「フィルタ特性」と呼びます。

さてフィルタ出力 $y[i]$ の Z 変換を $\textrm{Y}(z)$、フィルタ入力 $x[i]$ の Z 変換を $\textrm{X}(z)$、伝達関数を $\textrm{H}(z)$ とした時に以下の関係がありました。

\begin{align*} \textrm{Y}(z) = \textrm{H}(z) \cdot \textrm{X}(z) \end{align*}

ここでZ変換のアクティビティで学んだように、両辺に $z = \textrm{e}^{ j \cdot w \cdot \tau }$ (ここで $\tau$ はサンプリング間隔)を代入するとスペクトル(フーリエ変換)の形式に変わります。

\begin{align*} \textrm{Y}(w) = \textrm{H}(w) \cdot \textrm{X}(w) \end{align*}

さらに伝達関数を極形式に書き換えます。

\begin{align*} \textrm{Y}(w) = |\textrm{H}(w)| \cdot \textrm{e}^{\{ j \cdot \angle \textrm{H}(w) \}} \cdot \textrm{X}(w) \end{align*}

準備ができたので、試しにこのフィルタに角周波数 $w_0$ [rad/秒] のサイン波 $x(t)=\cos(w_0 t)$ (をサンプリングした信号)を入力してみましょう。

$x(t) = \cos(w_0t)$のフーリエ変換は

\[ \textrm{X}(w) = \pi \cdot \delta(w-w_0) + \pi \cdot \delta(w+w_0) \]

ですので、これを上の式に代入すると

\begin{align*} \textrm{Y}(w) &= |\textrm{H}(w)| \cdot \textrm{e}^{\{ j \angle \textrm{H}(w) \}} \cdot \pi \cdot \delta(w-w_0) + |\textrm{H}(w)| \cdot \textrm{e}^{\{ j \angle \textrm{H}(w) \}} \cdot \pi \cdot \delta(w+w_0) \\ \end{align*}

となります。
デルタ関数の定義より、$w=w_0$ と $w=-w_0$ 以外の $\textrm{H}(w)$ の値は無視して良いので

\begin{align*} \textrm{Y}(w) &= |\textrm{H}(w_0)| \cdot \textrm{e}^{\{ j \angle \textrm{H}(w_0) \}} \cdot \pi \cdot \delta(w-w_0) + |\textrm{H}(-w_0)| \cdot \textrm{e}^{\{ j \angle \textrm{H}(-w_0) \}} \cdot \pi \cdot \delta(w+w_0) \\ \end{align*}

となり、さらに

\[ |\textrm{H}(-w_0)| = |\textrm{H}(w_0)| \] \[ \angle \textrm{H}(-w_0) = -\angle \textrm{H}(w_0) \]

が成り立つので

\begin{align*} \textrm{Y}(w) &= |\textrm{H}(w_0)| \cdot \textrm{e}^{\{ j \angle \textrm{H}(w_0) \}} \cdot \pi \cdot \delta(w-w_0) + |\textrm{H}(w_0)| \cdot \textrm{e}^{\{ -j \angle \textrm{H}(w_0) \}} \cdot \pi \cdot \delta(w+w_0) \\ \end{align*}

となります。
さて $\pi \cdot \delta(w \pm w_0)$ の逆フーリエ変換は $\textrm{e}^{\mp jw_0t}/2$ ですので

\begin{align*} \textrm{Y}(w) &= |\textrm{H}(w_0)| \cdot \textrm{e}^{\{ j \angle \textrm{H}(w_0) \}} \cdot \int_{-\infty}^{\infty} \left \{ \frac{ \textrm{e}^{ jw_ot } }{2} \cdot \textrm{e}^{ -jwt } \right \} \textrm{d}t \\ &\ + |\textrm{H}(w_0)| \cdot \textrm{e}^{\{ -j \angle \textrm{H}(w_0) \}} \cdot \int_{-\infty}^{\infty} \left \{ \frac{ \textrm{e}^{ -jw_ot } }{2} \cdot \textrm{e}^{ -jwt } \right \} \textrm{d}t \\ &= |\textrm{H}(w_0)| \cdot \int_{-\infty}^{\infty} \left \{ \frac{ \textrm{e}^{ j(w_ot + \angle \textrm{H}(w_0)) } }{ 2 } \cdot \textrm{e}^{ -jwt } \right \} \textrm{d}t \\ &\ + |\textrm{H}(w_0)| \cdot \int_{-\infty}^{\infty} \left \{ \frac{ \textrm{e}^{ -j(w_ot + \angle \textrm{H}(w_0)) } }{ 2 } \cdot \textrm{e}^{ -jwt } \right \} \textrm{d}t \\ \end{align*}

となり、オイラー公式より

\begin{align*} \textrm{Y}(w) &= |\textrm{H}(w_0)| \cdot \int_{-\infty}^{\infty} \left \{ \cdot \cos \left ( w_0t + \angle \textrm{H}(w_0) \right ) \cdot \textrm{e}^{ -jwt } \right \} \textrm{d}t \end{align*}

が得られます。
あとは両辺を逆フーリエ変換することで以下の式が得られます。

\begin{align*} y(t) = |\textrm{H}(w_0)| \cdot \cos \left ( w_0t + \angle \textrm{H}(w_0) \right ) \end{align*}

この式から以下の結論が得られます。

伝達関数 $\textrm{H}(z)$ を持つ安定なディジタル線形フィルタに角周波数 $w_0$ [rad/秒]のディジタルサイン波を入力すると、振幅が $|\textrm{H}(w_0)|$ 倍されて位相が $\angle \textrm{H}(w_0)$ [rad] だけ進んだ角周波数 $w_0$ [rad/秒] のディジタルサイン波が出力される。

伝達関数 $\textrm{H}(z)$ に $z = \textrm{e}^{ j \cdot w \cdot \tau }$ を代入した $\textrm{H}(w)$ をフィルタの「周波数特性」と呼ぶ。

また $|\textrm{H}(w)|$をフィルタの「振幅特性」、$\angle \textrm{H}(w)$ をフィルタの「位相特性」と呼ぶ。