このアクティビティでは「ラプラス変換」(Laplace transform)について学びます。

ラプラス変換の語源となったピエール＝シモン・ラプラスは18〜19世紀のフランスの数学者でフーリエより20歳程年上の人です。
ラプラスが現代のラプラス変換に似ている式を使って計算していたのでラプラス変換という名前がつきました。
ちなみに時系列的にはフーリエ級数よりも(当時はまだ名前がついてませんでしたが)ラプラス変換の方が先に発表されています。

※ ラプラス変換という名前をつけた人は20世紀のドイツの数学者のGustav Doetschらしいです

ちなみに長くて細かい話が続くので、時間が無い人は定義のところだけ読めば十分です。


(1) ラプラス変換

ではラプラス変換の定義です。
いきなり「S平面」とか「複素角周波数」とかいう用語が出てきますが、それらについては次のページで説明しますので、とりあえず $s$ は複素数の変数だと思って下さい。

ラプラス変換 $\textrm{F}(s)$ の定義

$f(t)$ を任意の時間領域アナログ信号とする。
また $s$を「S平面」(S-plane)と呼ばれる複素平面上の変数

\[ s = \sigma + j \cdot w \]

とする($\sigma$と$w$は実数)。

ここで $w$ [rad/秒] は角周波数を意味するので、$s$ は「複素角周波数」(complex frequency)とも呼ばれる。

もし $f(t)$ が区分的に連続で

\[ |f(t)| \leq \begin{cases} \textrm{M}_-\cdot \textrm{e}^{k_-\cdot t} &\ (t < 0) \\[10pt] \textrm{M}_+ \cdot \textrm{e}^{k_+\cdot t} &\ (t \geq 0) \end{cases} \]

を満たすある実数の定数 $\textrm{M}_+$ と $\textrm{M}_-$ と $k_+$ と $k_-$ が存在するならば $f(t)$ のラプラス変換は存在し(※ 十分条件)、

\[ \textrm{F}(s) = \int_{-\infty}^{\infty} \left \{ f(t) \cdot \textrm{e}^{\{- s \cdot t \}} \right \} \textrm{d}t \]

により定義される複素関数を「両側ラプラス変換」と言う。

また積分範囲を0以上に限定した

\[ \textrm{F}(s) = \int_{0}^{\infty} \left \{ f(t) \cdot \textrm{e}^{\{- s \cdot t \}} \right \} \textrm{d}t \]

により定義される複素関数を「片側ラプラス変換」と言う。

なお片側ラプラス変換を考える場合は条件 $|f(t)| \leq \textrm{M}_-\cdot \textrm{e}^{k_-\cdot t}$ については考慮しなくても良い。
また片側ラプラス変換は単位ステップ関数

\[ u(t)= \begin{cases} 0 \ & t < 0 \\[10pt] 1 & t \geq 0 \end{cases} \]

を使えば以下の両側ラプラス変換とみなすことも出来る。

\[ \textrm{F}(s) = \int_{-\infty}^{\infty} \left \{ f(t) \cdot u(t) \cdot \textrm{e}^{\{- s \cdot t \}} \right \} \textrm{d}t \]

なお基本的な信号のラプラス変換はラプラス変換表( 片側、両側 )に載っているのでいちいち計算しなくても良いです。

さて、両側／片側ラプラス変換にはいくつか注意点があります。

1番目の注意点は、ラプラス変換には両側ラプラス変換と片側ラプラス変換の2種類がありますので文献によってどちらの変換を表してるのか気にする必要があることです。
ただし工学的に使う信号は時刻 0 未満の場合は $f(t)=0$ とみなすことが多いので、単にラプラス変換と言えば片側ラプラス変換のことを意味する場合が多いです。

2番目の注意点は、フーリエ変換は存在しても両側／片側どちらか、または両方のラプラス変換は存在しない信号があることです。
例えばフーリエ変換や片側ラプラス変換は存在するけど両側ラプラス変換が存在しない信号の例として以下のものがあります。

※ こちらのサイトによるとフーリエ変換にデルタ関数や不連続点が含まれていると両側ラプラス変換出来ないらしいです。

\begin{align*} f(t) &= \textrm{e}^{j \cdot w' \cdot t} \\[20pt] f(t) &= \sin( w' \cdot t ) \\[20pt] f(t) &= \cos( w' \cdot t ) \\[20pt] f(t) &= \textrm{sinc}( w' \cdot t ) \\[20pt] f(t) &= 1 \\[20pt] f(t) &= \textrm{sign}(t) \qquad \text{※ 符号関数} \\[20pt] \end{align*}

またフーリエ変換は存在するけど両側／片側の両方ともラプラス変換が存在しない例としては $f(t) = 1/t$ が有名です。
ちなみにフーリエ変換は $-j \cdot \pi \cdot \textrm{sign}(w)$です(証明はこちらなどを参照)。

3番目の注意点は、上で挙げたラプラス変換の存在条件は十分条件なので、条件を満たさなくてもデルタ関数みたいな超関数やガンマ関数みたいな特殊関数を用いることで変換が存在する場合があることです。
例えばディラックのデルタ関数は $t=0$ の時に $\infty$ になりますが、両側・片側ラプラス変換はどちらも $\textrm{F}(s) = 1$ になります。
同様に $f(t) = 1/\sqrt{t}$ も $t=0$ の時に $\infty$ になりますが片側ラプラス変換は(両側は無し)

\[ \textrm{F}(s) = \frac{\Gamma(1/2)}{\sqrt{s}} = \sqrt{\frac{\pi}{s}} \]

になります。


(2) 逆ラプラス変換 (ラプラス逆変換)

次は逆変換です。
なお今回は「逆ラプラス変換」と称しますが、文献によっては「ラプラス逆変換」という場合もあります。

定義は以下の通りになります。
両側、片側どちらの変換にも共通の定義です。

定義： 逆ラプラス変換 (Bromwich 積分) \[ \lim_{|s|\rightarrow \infty} |\textrm{F}(s)| = 0 \]

が一様に成り立つならばラプラス変換 $\textrm{F}(s)$ の逆ラプラス変換は存在し(十分条件)、

\begin{align*} f(t) = \frac{1}{2\pi\cdot j} \lim_{p \rightarrow \infty} \int_{\gamma-j\cdot p}^{\gamma+j\cdot p} \left \{ \textrm{F}(s) \cdot \textrm{e}^{\{s \cdot t \}} \right \} \ \textrm{d}s \end{align*}

と定義される。
ここで

$\gamma$ ・・・ $\textrm{F}(s)$の「収束領域」(ROC: Region Of Convergence)内にある任意の実数

$s$ ・・・ 複素角周波数、$s = \sigma + j \cdot w$

である。
この積分のことをBromwich 積分と呼ぶ。

ここでもいきなり「収束領域」という用語が出てきましたが、それについても次のページで説明しますので、とりあえずここでは複素数 $s$ が取り得る値の範囲だと思って下さい。

とは言え、真面目に上の Bromwich 積分をするのは結構手間がかかるので、実用的には留数定理を使って手っ取り早く逆ラプラス変換を計算することが多いです。
なお留数定理を適用するためには少なくとも1つ以上極が必要になりますが、工学で良く利用されている信号のラプラス変換は

有理式で表すことが出来て、かつ分母の多項式の次数が分子の多項式の次数よりも大きい

場合であることが多く、その種類のラプラス変換ならば必ず極が1つ以上存在してかつ逆変換の存在条件も満たすので留数定理を適用することが出来ます。
そこで今回のアクティビティでは(デルタ関数などの特殊な場合を除いて)この条件を満たす信号だけを今後扱うことにします。

さて留数定理を使った場合は両側ラプラス変換と片側ラプラス変換で若干式が変わりますので、先に説明しやすい片側ラプラス変換の逆変換から説明します。
一般に逆ラブラス変換と呼ばれている変換です。

定義： 逆片側ラプラス変換 (留数定理版)

$\textrm{F}(s)$ は $s$ の有理式で表すことが出来て、かつ分母の多項式の次数が分子の多項式の次数よりも大きいとする。
また極(特異点)が $s_1, s_2, \cdots, s_\textrm{N}$ の N 個あるとする。
この時

\begin{align*} f(t) = \sum_{i=1}^{\textrm{N}} \textrm{Res}_{s=s_i} \left \{ \textrm{F}(s) \cdot \textrm{e}^{\{s \cdot t \}} \right \} \end{align*}

は $\textrm{F}(s)$ の逆片側ラプラス変換となる。
ここで

$s$ ・・・ 複素角周波数、$s = \sigma + j \cdot w$

$\textrm{Res}_{s=s_i} \left \{ \textrm{F}(s) \cdot \textrm{e}^{\{s \cdot t \}} \right \}$ ・・・ $\textrm{F}(s) \cdot \textrm{e}^{\{s \cdot t \}}$ の $n$ 位の極(特異点) $s_i$ における留数

\[ \textrm{Res}_{s=s_i} \left \{ \textrm{F}(s) \cdot \textrm{e}^{\{s \cdot t \}} \right \} = \frac{1}{(n-1)!}\lim_{s \rightarrow s_i}\frac{\textrm{d}^{n-1}}{\textrm{d}s^{n-1}} \left \{ (s-s_i)^n \cdot \textrm{F}(s) \cdot \textrm{e}^{\{s \cdot t \}} \right \} \]

例えば $\textrm{F}(s) = 1/s^2$ の時、極は $s=0$ (n=2) のひとつだけなので逆片側ラプラス変換は

\begin{align*} f(t) &= \textrm{Res}_{s=0} \left \{ \frac{1}{s^2} \cdot \textrm{e}^{\{s \cdot t \}} \right \} \\[5pt] &= \frac{1}{1!}\lim_{s \rightarrow 0}\frac{\textrm{d}}{\textrm{d}s} \left \{ (s-0)^2 \cdot \frac{1}{s^2} \cdot \textrm{e}^{\{s \cdot t \}} \right \} \\[5pt] &= \lim_{s \rightarrow 0} \left \{ t \cdot \textrm{e}^{\{s \cdot t \}} \right \} \\[5pt] &= t \end{align*}

となります。
この $f(t)=t$ (ただし $t\geq0$) をランプ関数と呼びますが、ランプ関数の片側ラプラス変換はラプラス変換表を見ると $\textrm{F}(s) = 1/s^2$ なので確かに逆変換が正しいことが分かります。

次は逆両側ラプラス変換について説明します。
こちらは収束領域を考慮し、しかも $t$ が 0 以上が負かで場合分けをする必要があるので式が複雑になります。

定義： 逆両側ラプラス変換 (留数定理版)

$\textrm{F}(s)$ は有理式で表すことが出来て、かつ分母の多項式の次数が分子の多項式の次数よりも大きいとする。
また収束領域の左側にある極(特異点)の集合を L-ROC、右側にある極(特異点)の集合を R-ROC とする。
この時

\begin{align*} f(t) = \begin{cases} -\sum_{s' \in \{\text{R-ROC}\} } \textrm{Res}_{s'} \left \{ \textrm{F}(s) \cdot \textrm{e}^{\{s \cdot t \}} \right \} &\ (t < 0) \\[15pt] \sum_{s' \in \{\text{L-ROC}\} } \textrm{Res}_{s'} \left \{ \textrm{F}(s) \cdot \textrm{e}^{\{s \cdot t \}} \right \} &\ (t \geq 0) \end{cases} \end{align*}

は $\textrm{F}(s)$ の逆両側ラプラス変換となる。
ここで

$s$ ・・・ 複素角周波数、$s = \sigma + j \cdot w$

$\textrm{Res}_{s'} \left \{ \textrm{F}(s) \cdot \textrm{e}^{\{s \cdot t \}} \right \}$ ・・・ $\textrm{F}(s) \cdot \textrm{e}^{\{s \cdot t \}}$ の $n$ 位の極(特異点) $s'$ における留数 (式は上の片側逆変換の時と同じ)

さて Bromwich 積分を使う場合にしろ、留数定理を使うにしろ、逆ラプラス変換にはいくつか注意点があります。

1番目の注意点は、上の定義から分かるように逆両側ラプラス変換の場合は極が収束領域の右にあるか左にあるかによって復元される $f(t)$ の式が大幅に変わることです。
言い換えれば

逆両側ラプラス変換の場合は $\textrm{F}(s)$ だけでなく収束領域も与えられないと元の $f(t)$ を一意に復元出来ない

ので注意してください。

例えば上の逆片側変換と同様に $\textrm{F}(s) = 1/s^2$ の例を考えてみましょう(極は $s=0$ (n=2) のひとつ )。
もし収束領域が 0 よりも右側にある場合は極が収束領域の左側にあるので、片側ラプラス変換を行うことと同じになって

\[ f(t) = \begin{cases} 0&\ (t < 0) \\[10pt] t&\ (t \geq 0) \end{cases} \]

が答となります。
逆に収束領域が 0 よりも左側にある場合($\sigma<0$)は極が収束領域の右側にありますので

\[ f(t) = \begin{cases} -t&\ (t < 0) \\[10pt] 0 &\ (t \geq 0) \end{cases} \]

が答となりますが、参考までにこの場合の両側ラプラス変換を求めると

\begin{align*} \textrm{F}(s) &= \int_{-\infty}^{0} \left \{ ( -t ) \cdot \textrm{e}^{\{- s \cdot t \}} \right \} \textrm{d}t \\[5pt] &= \int_{0}^{\infty} \left \{ t \cdot \textrm{e}^{\{ s \cdot t \}} \right \} \textrm{d}t \\[5pt] &= \left [ t \cdot \frac{1}{s} \cdot \textrm{e}^{\{ s \cdot t \}} \right ]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} \left \{ \frac{1}{s} \cdot \textrm{e}^{\{ s \cdot t \}} \right \} \textrm{d}t \\[5pt] &= \left [ t \cdot \frac{1}{s} \cdot \textrm{e}^{\{ s \cdot t \}} \right ]_{0}^{\infty} - \left [ \frac{1}{s^2} \cdot \textrm{e}^{\{ s \cdot t \}} \right ]_{0}^{\infty} \\[5pt] &= \lim_{t \rightarrow \infty} \left \{ t \cdot \frac{1}{s} \cdot \textrm{e}^{\{ s \cdot t \}} \right \} - \lim_{t \rightarrow \infty} \left \{ \frac{1}{s^2} \cdot \textrm{e}^{\{ s \cdot t \}} \right \} + \frac{1}{s^2} \\[5pt] ( \sigma < 0\ \text{なら前の2項は0に収束するので}) &= \frac{1}{s^2} \\[5pt] \end{align*}

なので、確かに正しい事が分かります。

2番目の注意点は、逆ラプラス変換は $f(t)$ が連続的な信号でない場合は一意な変換にはならないことです。
つまり $f(t)$ が有限個の点で不連続である信号の場合、$\textrm{F}(s)$ を逆変換しても元の $f(t)$ に戻らない場合があります。
例えば $f(t) = 1$ の片側ラプラス変換は $\textrm{F}(s) = 1/s$ ですが、

\[ f(t) = \begin{cases} 1 \ & (t < 1) \\[10pt] 0 & (t = 1) \\[10pt] 1 & (t > 1) \end{cases} \]

の片側ラプラス変換も $\textrm{F}(s) = 1/s$ ですので、逆ラプラス変換してもどちらが元の信号だったのか分かりません。
ただし工学的には不連続な信号はさほど問題にはならないことが多いので、不連続点が少ない方の信号を逆ラプラス変換の結果として適当に選んだりします。
よって今回はこの件に関してあまり深く立ち入らないことにします。

3番目の注意点は、Bromwich 積分のところで挙げた逆ラプラス変換の存在条件は十分条件なので、これを満たさなくても逆変換が存在する場合があることです。
例えば $\textrm{F}(s) = 1$ (デルタ関数のラプラス変換)は明らかに存在条件を満たしてませんが、以下の様にして Bromwich 積分により逆変換を計算できます。

\begin{align*} \frac{1}{2\pi\cdot j} \lim_{p \rightarrow \infty} \int_{\gamma-j\cdot p}^{\gamma+j\cdot p} \left \{ 1 \cdot \textrm{e}^{\{s \cdot t \}} \right \} \textrm{d}s &= \frac{1}{2\pi\cdot j} \lim_{p \rightarrow \infty} \left [ \frac{ \textrm{e}^{\{s \cdot t \}} }{t} \right ]_{\gamma-j\cdot p}^{\gamma+j\cdot p} \\[10pt] &= \frac{1}{2\pi\cdot j} \lim_{p \rightarrow \infty} \left \{ \frac{ \textrm{e}^{ (\gamma+j\cdot p) \cdot t } - \textrm{e}^{ (\gamma-j\cdot p) \cdot t } }{t} \right \} \\[10pt] &= \frac{ \textrm{e}^{ \gamma \cdot t } }{ \pi \cdot t} \lim_{p \rightarrow \infty} \left \{ \frac{ \textrm{e}^{ j\cdot p \cdot t } - \textrm{e}^{ -j \cdot p\cdot t } }{2\cdot j} \right \} \\[10pt] &= \textrm{e}^{ \gamma \cdot t } \cdot \lim_{p \rightarrow \infty} \frac{ \sin(p\cdot t ) }{ \pi \cdot t } \\[10pt] &= \textrm{e}^{ \gamma \cdot t } \cdot \delta(t) \\[10pt] &= \textrm{e}^{ 0 } \cdot \delta(t) \\[10pt] &= \delta(t) \\[10pt] \end{align*}

一方、デルタ関数の微分 $f(t) = \textrm{d}\delta(t)/\textrm{d}t$ のラプラス変換である $\textrm{F}(s) = s$ も逆ラプラス変換の存在条件を満たしていませんがデルタ関数を含んでいるので何となく逆ラプラス変換できそうな気がします。
ところがこちらに関しては Bromwich 積分して元の $f(t)$ を求めることは(調べた限り)出来ないみたいです。

※ デルタ関数の微分は $-\delta(t)$ と $+\delta(t)$ が同時存在するという謎の信号なので当然と言われればそうですが。

4番目の注意点は、極が1つも無い場合は逆フーリエ変換が存在しても逆ラプラス変換は存在しない場合があることです。

この条件については調べても良く分からなかったのですが、多分フーリエ変換は存在するけどラプラス変換が存在しない信号($f(t)=1/t$ とか)のフーリエ変換を次の例の様に無理やりラプラス変換とみなした関数については逆ラプラス変換が存在しないのでは無いかと思います。
例えば

\[ \textrm{F}(s) = -j \cdot \pi \cdot \textrm{sign}(w) \]

の逆ラプラス変換は存在しないことを背理法を使って証明してみましょう($\textrm{F}(s)$ の式内には $s$ の実数成分 $\delta$ が含まれていなことに注意してください)。

まず極が含まれてないので適当に実数 $\gamma$ を選んで Bromwich 積分を計算します。

\begin{align*} f(t) &= \frac{1}{2\pi\cdot j} \lim_{p \rightarrow \infty} \int_{\gamma-j\cdot p}^{\gamma+j\cdot p} \left \{ \textrm{F}(s) \cdot \textrm{e}^{\{s \cdot t \}} \right \} \textrm{d}s \\[10pt] (s'= s-\gamma \text{と置き換えて}) &= \frac{1}{2\pi\cdot j} \lim_{p \rightarrow \infty} \int_{-j\cdot p}^{j\cdot p} \left \{ \textrm{F}(s'+\gamma) \cdot \textrm{e}^{\{(s'+\gamma) \cdot t \}} \right \} \textrm{d}s' \\[10pt] &= \frac{ \textrm{e}^{\{\gamma \cdot t\}} }{2\pi\cdot j} \lim_{p \rightarrow \infty} \int_{-j\cdot p}^{j\cdot p} \left \{ \textrm{F}(s'+\gamma) \cdot \textrm{e}^{\{s' \cdot t \}} \right \} \textrm{d}s' \\[10pt] (s'= j \cdot w{と置き換えて}) &= \frac{ \textrm{e}^{\{\gamma \cdot t\}} }{2\pi} \lim_{p \rightarrow \infty} \int_{-p}^{p} \left \{ \textrm{F}(j \cdot w+\gamma) \cdot \textrm{e}^{\{j \cdot w \cdot t \}} \right \} \textrm{d}w \\[10pt] &= \frac{ \textrm{e}^{\{\gamma \cdot t\}} }{2\pi} \lim_{p \rightarrow \infty} \int_{-p}^{p} \left \{ -j \cdot \pi \cdot \textrm{sign}(t) \cdot \textrm{e}^{\{j \cdot w \cdot t \}} \right \} \textrm{d}w \\[10pt] \end{align*}

最後の積分は単に $f(t) = 1/t$ に戻す逆フーリエ変換の式なので、よって

\begin{align*} (\textrm{続き})&= \textrm{e}^{\{\gamma \cdot t\}} \cdot \frac{1}{t} \end{align*}

となりますが、$\gamma$ をどう選んでも両側／片側ラプラス変換どちらも出来ないという矛盾が生じましたので、逆ラプラス変換は存在しないことが分かりました。