線形座標変換とは座標変換式が線形である変換のことで、アフィン変換とも呼びます。 つまり要素が実数である「線形変換行列(またはアフィン変換行列)」
\begin{align} {\textrm A} = \left [ \begin{array}{cc} a_{11} \ a_{12} \\ a_{21} \ a_{22} \end{array} \right ] \end{align}が与えられると
\begin{align} \left [ \begin{array}{c} u^1 \\ u^2 \end{array} \right ] = {\textrm A} \left [ \begin{array}{c} x^1 \\ x^2 \end{array} \right ] = \left [ \begin{array}{c} a_{11}x^1 + a_{12}x^2 \\ a_{21}x^1 + a_{22}x^2 \end{array} \right ] \\ \end{align}により新しい座標系 $u$ の座標が得られます。
ところで
\begin{align} u^1 = a_{11}x^1 + a_{12}x^2 \end{align}の両辺を $x^1$ で偏微分すると
\begin{align} \frac{\partial u^1}{\partial x^1} = a_{11} \end{align}ですので、同様に考えることで線形変換行列は
\begin{align} {\textrm A} = \left [ \begin{array}{cc} \frac{\partial u^1}{\partial x^1} \ \frac{\partial u^1}{\partial x^2} \\ \frac{\partial u^2}{\partial x^1} \ \frac{\partial u^2}{\partial x^2} \\ \end{array} \right ] \end{align}で表されることが分かりますので次の式が成り立ちます。
\begin{align} \left [ \begin{array}{c} u^1 \\ u^2 \end{array} \right ] = \left [ \begin{array}{c} \frac{\partial u^1}{\partial x^1}x^1 + \frac{\partial u^1}{\partial x^2}x^2 \\ \frac{\partial u^2}{\partial x^1}x^1 + \frac{\partial u^2}{\partial x^2}x^2 \\ \end{array} \right ] \end{align}次に逆変換を考えます。逆変換行列を ${\textrm A}^{-1}$ で表すと \begin{align} \left [ \begin{array}{c} x^1 \\ x^2 \end{array} \right ] = {\textrm A}^{-1} \left [ \begin{array}{c} u^1 \\ u^2 \end{array} \right ] \end{align}
となりますが、上と同様に考えると
\begin{align} {\textrm A}^{-1} = \left [ \begin{array}{cc} \frac{\partial x^1}{\partial u^1} \ \frac{\partial x^1}{\partial u^2} \\ \frac{\partial x^2}{\partial u^1} \ \frac{\partial x^2}{\partial u^2} \\ \end{array} \right ] \end{align} \begin{align} \left [ \begin{array}{c} x^1 \\ x^2 \end{array} \right ] = \left [ \begin{array}{c} \frac{\partial x^1}{\partial u^1}u^1 + \frac{\partial x^1}{\partial u^2}u^2 \\ \frac{\partial x^2}{\partial u^1}u^1 + \frac{\partial x^2}{\partial u^2}u^2 \\ \end{array} \right ] \end{align}となります。なお $\{u^1,u^2\}$ から $\{x^1,x^2\}$ に値を戻せるためには
\begin{align} {\textrm A}^{-1} {\textrm A} = {\textrm A} {\textrm A}^{-1} = \left [ \begin{array}{cc} 1 \ 0 \\ 0 \ 1 \end{array} \right ] \end{align}という関係を満たす必要があることに注意して下さい。