両側 Z 変換 $\textrm{F}(z)$ → $\textrm{DTFT}(w)$
$f[i]$ の両側 Z 変換を $\textrm{F}(z)$ とする。
この時、$\textrm{F}(z)$ に対して
\[
z = \textrm{e}^{ j \cdot w \cdot \tau }
\]
を代入すると $f[i]$ の DTFT が得られる。
すなわち
\[
\begin{align*}
\textrm{DTFT}(w) &=
\left .
\textrm{F}(z)
\right |_{z = \textrm{e}^{ j \cdot w \cdot \tau}} \\[10pt]
&=
\left .
\sum_{i=-\infty}^\infty \{ f[i] \cdot z^{-i} \}
\right |_{z = \textrm{e}^{ j \cdot w \cdot \tau}} \\[10pt]
&=
\sum_{i=-\infty}^\infty \{ f[i] \cdot \textrm{e}^{- j \cdot \cdot i \cdot w \cdot \tau} \}
\end{align*}
\]
が得られる。
$\textrm{DTFT}(w)$ → 両側 Z 変換 $\textrm{F}(z)$
$f[i]$ の DTFT を $\textrm{DTFT}(w)$ とする。
この時、$\textrm{DTFT}(w)$ に対して
\[
\textrm{e}^{ j \cdot w \cdot \tau } = z
\]
という置き換えをすると $f[i]$ の両側 Z 変換が得られる。
すなわち
\[
\begin{align*}
\textrm{F}(z) &=
\left .
\textrm{DTFT}(w)
\right |_{\textrm{e}^{ j \cdot w \cdot \tau } = z} \\[10pt]
&=
\left .
\sum_{i=-\infty}^\infty \{ f[i] \cdot \textrm{e}^{- j \cdot \cdot i \cdot w \cdot \tau} \}
\right |_{\textrm{e}^{ j \cdot w \cdot \tau } = z} \\[10pt]
&=
\sum_{i=-\infty}^\infty \{ f[i] \cdot z^{-i} \}
\end{align*}
\]
が得られる。