$\textrm{DFT}[k]$ のインデックス $k$ と角周波数 $w$ [rad/秒] の関係式

周期性時間領域ディジタル信号 $f[i]$ の周期を $\textrm{N}$ [点]、サンプリング間隔を $\tau$ [秒]、サンプリング角周波数を $w_s = 2\pi/\tau$ [rad/秒]、サンプリング周波数を $f_s = 1/\tau$ [Hz]とする。

またこの $f[i]$ は周期 $\textrm{T}$ [秒]、基本角周波数 $w_1 = 2\pi/\textrm{T}$ [rad/秒] である未知の周期性アナログ信号 $f(t)$ からサンプリングして作成したとする。
なお今回は話を簡単にするために周期 $\textrm{T}$ [秒]はサンプリング間隔 $\tau$ [秒]で割り切れる数であるとして

\begin{align*} \textrm{N} & = \frac{\textrm{T}}{\tau} \\[10pt] \textrm{T} & = \textrm{N}\cdot \tau \\[10pt] \end{align*}

が成り立つ正整数 $\textrm{N}$ があるとする。

この時

\[ w_1 = \frac{2\pi}{\textrm{T}} = \frac{2\pi}{\textrm{N}\cdot \tau} = \frac{w_s}{\textrm{N}} \]

という関係が成り立ち、かつ

\[ w = k \cdot w_1 \]

周期性時間領域ディジタル信号のスペクトル \[ \textrm{F}(w) = \begin{cases} \textrm{DFT}[k] & , \ w = k \cdot w_1 = k \cdot \frac{w_s}{\textrm{N}} \text{ [rad/秒] のとき}\ (k = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots) \\[10pt] 0 & , \ w \text{がそれ以外の値のとき} \end{cases} \]

$w_1$ ・・・ 基本角周波数、 単位は [rad/秒]

スペクトルから元の信号を復元する

式が分からない未知の周期性時間領域ディジタル信号 $f[i]$ のスペクトル $\textrm{F}(w)$ を何らかの手法を使って求めたとする。
この時、IDFT

\[ f[i] = \sum_{k=0}^{\textrm{N}-1} \left \{ \textrm{DFT}[k] \cdot \textrm{e}^{\{j \cdot k \cdot \frac{2\pi}{\textrm{N}} \cdot i \}} \right \} = \sum_{k=0}^{\textrm{N}-1} \left \{ \textrm{F}(k \cdot w_1) \cdot \textrm{e}^{\{j \cdot k \cdot \frac{2\pi}{\textrm{N}} \cdot i \}} \right \} \]

によって $f[i]$ を復元出来る。