周期性が無い、つまり非周期性時間領域ディジタル信号 $f[i]$ からスペクトル $\textrm{F}(w)$ を求める演算を DTFT (Discrete Time Fourier Transform: 離散時間フーリエ変換 )と言います。
あるいは $\textrm{F}(w)$ そのものを DTFT と呼びます。
DTFT はディジタル信号版のフーリエ変換ですが、周期性時間領域ディジタル信号の周期を無限大にしたときの離散フーリエ変換(DFT)とみなすことも出来ます。
DTFT の定義は以下の通りです。
$w$ [rad/秒] ・・・角周波数
$f[i]$ ・・・ 非周期性時間領域ディジタル信号
$\tau$ [秒] ・・・ サンプリング間隔
この定義から分かるように、DTFT は無限長の非周期性時時間領域ディジタル信号 $f[i]$ を元にした無限級数の和の形になっていますので、どの様な $f[i]$ でも必ず収束するとは限らないことに注意して下さい。
今回は DTFT が収束する $f[i]$ だけを考えることにします。
さてここで $w_s$ [rad/秒] をサンプリング角周波数とすると $\tau = 2\pi / w_s$ なので、$n$ を任意の整数としたとき
\begin{align*} \textrm{F}(w + n \cdot w_s) &= \sum_{i=-\infty}^{\infty} \left \{ f[i] \cdot \textrm{e}^{\{-j \cdot i \cdot (w + n \cdot w_s) \cdot \tau \}} \right \} \\[10pt] &= \sum_{i=-\infty}^{\infty} \left \{ f[i] \cdot \textrm{e}^{\{-j \cdot i \cdot w \cdot \tau \}} \cdot \textrm{e}^{\{-j \cdot i \cdot n \cdot w_s \cdot \tau \}} \right \} \\[10pt] &= \sum_{i=-\infty}^{\infty} \left \{ f[i] \cdot \textrm{e}^{\{-j \cdot i \cdot w \cdot \tau \}} \cdot \textrm{e}^{\{-j \cdot i \cdot n \cdot 2\pi \}} \right \} \\[10pt] &= \sum_{i=-\infty}^{\infty} \left \{ f[i] \cdot \textrm{e}^{\{-j \cdot i \cdot w \cdot \tau \}} \cdot 1 \right \} \\[10pt] &= \textrm{F}(w) \end{align*}が成り立ちますので $\textrm{F}(w)$ は周期 $w_s$ [rad/秒] の複素関数であることが分かります。
一方 $\textrm{F}(w)$ から元の $f[i]$ を復元する演算を IDTFT (Inverse Discrete Time Fourier Transform: 逆離散時間フーリエ変換)と言います。
IDTFT の定義は以下の通りです。
この様に IDTFT は複素関数の積分が必要になりますので、なかなか簡単に求めることは出来ません。
$f[i]$ ・・・ 時間領域ディジタル信号
$w_s$ [rad/秒] ・・・ サンプリング角周波数
$\tau$ [秒] ・・・ サンプリング間隔
ところで $\textrm{F}(w)$ が虚数成分を含まない実関数で、かつ偶関数の場合は
\begin{align*} f[i] &= \frac{1}{w_s} \int_{-w_s/2}^{w_s/2} \left \{ \textrm{F}(w) \cdot \textrm{e}^{\{j \cdot i \cdot w \cdot \tau \}} \right \} \textrm{d}w \\[10pt] &= \frac{1}{w_s} \int_{-w_s/2}^{0} \left \{ \textrm{F}(w) \cdot \textrm{e}^{\{j \cdot i \cdot w \cdot \tau \}} \right \} \textrm{d}w + \frac{1}{w_s} \int_{0}^{w_s/2} \left \{ \textrm{F}(w) \cdot \textrm{e}^{\{j \cdot i \cdot w \cdot \tau \}} \right \} \textrm{d}w \\[10pt] &= \frac{1}{w_s} \int_{0}^{w_s/2} \left \{ \textrm{F}(-w) \cdot \textrm{e}^{\{-j \cdot i \cdot w \cdot \tau \}} \right \} \textrm{d}w + \frac{1}{w_s} \int_{0}^{w_s/2} \left \{ \textrm{F}(w) \cdot \textrm{e}^{\{j \cdot i \cdot w \cdot \tau \}} \right \} \textrm{d}w \\[10pt] (\text{偶関数なので} \textrm{F}(w) = \textrm{F}(-w)\ \text{より}) &= \frac{1}{w_s} \int_{0}^{w_s/2} \left \{ \textrm{F}(w) \cdot \left [ \textrm{e}^{\{-j \cdot i \cdot w \cdot \tau \}} +\textrm{e}^{\{j \cdot i \cdot w \cdot \tau \}} \right ] \right \} \textrm{d}w \\[10pt] (\text{オイラー公式より}) &= \frac{2}{w_s} \int_{0}^{w_s/2} \left \{ \textrm{F}(w) \cdot \cos( i \cdot w \cdot \tau) \right \} \textrm{d}w \end{align*}と、虚数成分が消えてただの実積分になり、しかも
\begin{align*} f[-i] &= \frac{2}{w_s} \int_{0}^{w_s/2} \left \{ \textrm{F}(w) \cdot \cos( -i \cdot w \cdot \tau) \right \} \textrm{d}w \\[10pt] &= \frac{2}{w_s} \int_{0}^{w_s/2} \left \{ \textrm{F}(w) \cdot \cos( i \cdot w \cdot \tau ) \right \} \textrm{d}w \\[10pt] &= f[i] \end{align*}ですので、まとめると
「$\textrm{F}(w)$ が虚数成分を含まない実関数で、かつ偶関数の場合は、時間領域ディジタル信号 $f[i]$ も偶関数になる」
ということが分かります。
※ この性質はディジタルフィルタの設計の所で使います