3. 実フーリエ級数展開

前ページのフーリエの定理から「実フーリエ級数展開」が導かれます。

まずフーリエの定理の中に出てきた「直流成分」を時間領域信号 $f_0(t)$ とすると、実数の定数

次に「基本角周波数 $w_1$ [rad/秒]を持つ時間領域アナログサイン波」を $f_1(t)$ とすると

で表されます。
このアナログサイン波 $f_1(t)$ の事を「基本波」と呼びます。
ここで基本波の振幅 $a_1$ と位相 $\phi_1$ [rad] は実数の定数です。

同様に「基本角周波数 $w_1$ [rad/秒]の正整数倍の角周波数を持つ正整数倍の角周波数の無限個の時間領域アナログサイン波」を $f_k(t)$ とすると

になります (ただし $k$ は 2 以上の整数)。
このアナログサイン波 $f_k(t)$ の事を「第 $k$ 高調波」と呼びます。
なお高調波の振幅 $a_k$ と位相 $\phi_k$ [rad] も実数の定数です。

フーリエの定理は $f(t)$ が周期性時間領域アナログ信号なら、どのような信号でも直流成分、基本波、無限個の第 $k$ 高調波が足し合わされて出来ていると主張する定理ですので以下の様に言い換えることも出来ます

フーリエの定理

$f(t)$ が周期性時間領域アナログ信号なら

\begin{align*} f(t) &= \text{直流成分} f_0(t) + \text{基本波} f_1(t) + \text{第 2 高調波} f_2(t) + \text{第 3 高調波} f_3(t) + \cdots \\[5pt] &= a_0 \ ・・・\text{直流成分} f_0(t) \\[5pt] &\ + a_1 \cdot \cos ( 1 \cdot w_1 \cdot t + \phi_1) \ ・・・\text{基本波} f_1(t) \\[5pt] &\ + a_2 \cdot \cos ( 2 \cdot w_1 \cdot t + \phi_2) \ ・・・\text{第 2 高調波} f_2(t) \\[5pt] &\ + a_3 \cdot \cos ( 3 \cdot w_1 \cdot t + \phi_3) \ ・・・\text{第 3 高調波} f_3(t) \\[5pt] &\ + \cdots \end{align*}

と分解できる

$f(t)$ ・・・周期 $\textrm{T}$ [秒] の周期性時間領域アナログ信号

$a_0$ ・・・直流成分、実数の定数、範囲は実数全体、単位は扱う信号の種類による (ボルトとかアンペアとか度とか etc.)

$a_k$ ・・・第 $k$ 高調波($k=1$の時は基本波)の振幅、実数の定数、範囲は実数全体、単位は扱う信号の種類による (ボルトとかアンペアとか度とか etc.)

$w_1$ ・・・基本角周波数、$w_1 = 2\pi/\textrm{T}$、単位は [rad/秒]

$\phi_k$ ・・・第 $k$ 高調波($k=1$の時は基本波)の初期位相、実数の定数、範囲は $-\pi \leq \phi \leq \pi$、単位は [rad]

上の式を $\sum$ を使って級数の形にまとめたのが次の実フーリエ級数展開です。

定義：実フーリエ級数展開 \begin{align*} f(t) &= \sum_{k=0}^{\infty} f_k(t) \\[5pt] &= a_0 + \sum_{k=1}^{\infty} \left \{ a_k \cdot \cos (k \cdot w_1 \cdot t + \phi_k) \right \} \end{align*}

$f(t)$ ・・・周期 $\textrm{T}$ [秒] の周期性時間領域アナログ信号

$a_0$ ・・・直流成分、実数の定数、範囲は実数全体、単位は扱う信号の種類による (ボルトとかアンペアとか度とか etc.)

$w_1$ ・・・基本角周波数、$w_1 = 2\pi/\textrm{T}$、単位は [rad/秒]

$\phi_k$ ・・・第 $k$ 高調波($k=1$の時は基本波)の初期位相、実数の定数、範囲は $-\pi \leq \phi \leq \pi$、単位は [rad]

\[ a_k\cdot\cos(k\cdot w_1 \cdot t + \phi_k) = \alpha_k \cdot \cos (k\cdot w_1 \cdot t) + \beta_k\cdot \sin (k\cdot w_1 \cdot t) \]

を使って初期位相 $\phi_k$ を消し、次の様に sin と cos の両方を含んだ定義になっている場合もあります(むしろ、こちらの方が一般的な実フーリエ級数展開の定義です)。

定義：一般的な実フーリエ級数展開 \begin{align*} f(t) = a_0 + \sum_{k=1}^{\infty} \left \{ \alpha_k \cdot \cos (k \cdot w_1 \cdot t ) +\beta_k \cdot \sin (k \cdot w_1 \cdot t ) \right \} \end{align*} \begin{align*} a_0 = \frac{1}{\textrm{T}}\int^{\textrm{T}/2}_{-\textrm{T}/2} f(t) \textrm{d}t \end{align*} \begin{align*} \alpha_k = \frac{2}{\textrm{T}}\int^{\textrm{T}/2}_{-\textrm{T}/2} \left \{ f(t) \cdot \cos (k \cdot w_1 \cdot t ) \right \} \textrm{d}t \end{align*} \begin{align*} \beta_k = \frac{2}{\textrm{T}}\int^{\textrm{T}/2}_{-\textrm{T}/2} \left \{ f(t) \cdot \sin (k \cdot w_1 \cdot t ) \right \} \textrm{d}t \end{align*}

$a_0$ ・・・直流成分、実数の定数、範囲は実数全体、単位は扱う信号の種類による (ボルトとかアンペアとか度とか etc.)

$\alpha_k$ ・・・ $\cos$ 項の第 $k$ 高調波($k=1$の時は基本波)の振幅、実数の定数、範囲は実数全体、単位は扱う信号の種類による (ボルトとかアンペアとか度とか etc.)

$\beta_k$ ・・・ $\sin$ 項の第 $k$ 高調波($k=1$の時は基本波)の振幅、実数の定数、範囲は実数全体、単位は扱う信号の種類による (ボルトとかアンペアとか度とか etc.)

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