(1次) CR ハイパスフィルタの回路図:

　

(1次) CR ハイパスフィルタの伝達関数:

カットオフ角周波数を $w_c = \frac{1}{RC}$ [rad/秒] とする。

\begin{align*} \textrm{H}(s) & = \frac{ 1 }{ 1 + \frac{w_c}{s} } \\ & = \frac{ s }{ s + w_c } \\ \end{align*}

※ 導出方法については前ページを参考

(1次) CR ハイパスフィルタの周波数特性: \begin{align*} \textrm{H}(w) & = \frac{ j\cdot w }{ j\cdot w + w_c } \\ & = \frac{ w }{ w -j \cdot w_c } \\ & = \frac{ w }{ \sqrt{w^2 + w_c^2 } \cdot \textrm{e}^{ j\cdot \tan^{-1}(-w_c/w) } } \\ & = \frac{ w }{ \sqrt{ w^2 + w_c^2 } } \cdot \textrm{e}^{ - j \cdot \tan^{-1}(-w_c/w) } \\ & = \frac{ w }{ \sqrt{ w^2 + w_c^2 } } \cdot \textrm{e}^{ j \cdot \tan^{-1}(w_c/w) } \\ \end{align*}

よって振幅特性(ゲイン)と位相特性はそれぞれ

\[ |\textrm{H}(w)| = \frac{ w }{ \sqrt{w^2 + w_c^2 }} \] \[ \angle \textrm{H}(w) = \tan^{-1}(w/w_c) \]

(1次) CR ハイパスフィルタのインパルス応答:

$s/(s-a)$の逆ラプラス変換は $\delta(t) + \frac{ \textrm{d} }{\textrm{dt}} \textrm{e}^{at} = \delta(t) + a \cdot \textrm{e}^{at} $ なので、伝達関数を逆ラプラス変換すると

※ $\delta(t)$ はディラックのデルタ関数

\begin{align*} h(t) & = \delta(t) - w_c \cdot \textrm{e}^{-w_c\cdot t} \end{align*}

IIR ハイパスフィルタのインパルス応答:

$\tau$ [秒] をサンプリング間隔とした時、

\begin{align*} h[i] = \tau \cdot h(\tau \cdot i ) = \tau \cdot \delta( \tau \cdot i ) - \tau \cdot w_c \cdot \textrm{e}^{-w_c \cdot \tau \cdot i} \end{align*}

ただし $\tau \cdot \delta( \tau \cdot i )$ をプログラミングで扱うのは困難なのでディジタルインパルス信号 $\delta[i]$ で置き換えて

\begin{align*} h[i] = \delta[i] - \tau \cdot w_c \cdot \textrm{e}^{-w_c \cdot \tau \cdot i} \end{align*}

標準形 1次 IIR ハイパスフィルタの伝達関数: \[ \textrm{H}(z)= \frac{ (1 - \tau \cdot w_c ) - \textrm{e}^{-w_c \cdot \tau} \cdot z^{-1} }{ 1 - \textrm{e}^{-w_c \cdot \tau} \cdot z^{-1} } \\ \]

(求め方)

インパルス応答の両辺を Z 変換して

\begin{align*} \textrm{H}(z) &= \sum_{i=0}^\infty \{ \delta[i] \cdot z^{-i} \} - \sum_{i=0}^\infty \{ \tau \cdot w_c \cdot \textrm{e}^{-w_c \cdot \tau \cdot i} \cdot z^{-i} \} \\ &= 1 - \sum_{i=0}^\infty \{ \tau \cdot w_c \cdot \textrm{e}^{-w_c \cdot \tau \cdot i} \cdot z^{-i} \} \\ &= 1 - \tau \cdot w_c \cdot \sum_{i=0}^\infty \{ \textrm{e}^{-w_c \cdot \tau} \cdot z^{-1} \}^i \\ \end{align*}

右辺の第2項はIIR ローパスパスフィルタの伝達関数にマイナスを掛けた値なので

\begin{align*} \textrm{H}(z) &= 1 - \frac{ \tau \cdot w_c }{ 1 - \textrm{e}^{-w_c \cdot \tau} \cdot z^{-1} } \\ &= \frac{ 1 - \textrm{e}^{-w_c \cdot \tau} \cdot z^{-1} - \tau \cdot w_c }{ 1 - \textrm{e}^{-w_c \cdot \tau} \cdot z^{-1} } \\ &= \frac{ (1 - \tau \cdot w_c ) - \textrm{e}^{-w_c \cdot \tau} \cdot z^{-1} }{ 1 - \textrm{e}^{-w_c \cdot \tau} \cdot z^{-1} } \\ \end{align*}

標準形 1次 IIR ハイパスフィルタ係数: \begin{align*} a[1] &= \textrm{e}^{-w_c \cdot \tau} \\ b[0] &= 1 - w_c \cdot \tau \\ b[1] &= -\textrm{e}^{-w_c \cdot \tau} \\ \end{align*}