それでは実フーリエ級数展開から複素フーリエ級数展開を導出してみます。
まず実フーリエ級数展開の式を複素正弦波とサイン波の関係を使って書き直すと次のような複素正弦波の和の級数になります。
\begin{align*} f(t) &= \sum_{k=0}^{\infty} f_k(t) \\[5pt] & = a_0 + \sum_{k=1}^{\infty} \left \{ a_k \cdot \cos (k \cdot w_1 \cdot t + \phi_k) \right \} \\[5pt] & = a_0 + \sum_{k=1}^{\infty} \left [ \left \{ \frac{a_k}{2} \cdot \textrm{e}^{\{-j \cdot \phi_k \}} \right \} \cdot \textrm{e}^{\{-j \cdot k \cdot w_1 \cdot t \}} + \left \{ \frac{a_k}{2} \cdot \textrm{e}^{\{j \cdot \phi_k \}} \right \} \cdot \textrm{e}^{\{j \cdot k \cdot w_1 \cdot t \}} \right ] \\[5pt] & = a_0 + \sum_{k=1}^{\infty} \left [ \left \{ \frac{a_k}{2} \cdot \textrm{e}^{\{-j \cdot \phi_k \}} \right \} \cdot \textrm{e}^{\{-j \cdot k \cdot w_1 \cdot t \}} \right ] + \sum_{k=1}^{\infty} \left [ \left \{ \frac{a_k}{2} \cdot \textrm{e}^{\{j \cdot \phi_k \}} \right \} \cdot \textrm{e}^{\{j \cdot k \cdot w_1 \cdot t \}} \right ] \end{align*}
ここで直流成分を
\[ a_0 = \textrm{C}[0] \]さらに複素正弦波のパラメータを
\[ \frac{a_k}{2} \cdot \textrm{e}^{\{j \cdot \phi_k \}} = \textrm{C}[k] \ ,\ (k\geq 1) \]と置き変えると次の式が得られます。
\begin{align*} f(t) & = \textrm{C}[0] + \sum_{k=1}^{\infty} \left [ \textrm{C}^{*}[k] \cdot \textrm{e}^{\{-j \cdot k \cdot w_1 \cdot t \}} \right ] + \sum_{k=1}^{\infty} \left [ \textrm{C}[k] \cdot \textrm{e}^{\{j \cdot k \cdot w_1 \cdot t \}} \right ] \end{align*}さらに前ページで説明したように $\textrm{C}^{*}[k] = \textrm{C}[-k]$ の関係があるので
\begin{align*} f(t) & = \textrm{C}[0] + \sum_{k=1}^{\infty} \left [ \textrm{C}[-k] \cdot \textrm{e}^{\{-j \cdot k \cdot w_1 \cdot t \}} \right ] + \sum_{k=1}^{\infty} \left [ \textrm{C}[k] \cdot \textrm{e}^{\{j \cdot k \cdot w_1 \cdot t \}} \right ] \end{align*}ここで $k'= -k$ と置いて
\begin{align*} f(t) &= \textrm{C}[0] + \sum_{k'=-\infty}^{-1} \left [ \textrm{C}[k'] \cdot \textrm{e}^{\{j \cdot k' \cdot w_1 \cdot t \}} \right ] + \sum_{k=1}^{\infty} \left [ \textrm{C}[k] \cdot \textrm{e}^{\{j \cdot k \cdot w_1 \cdot t \}} \right ] \\[5pt] \end{align*}よって $k'$ を $k$ に戻し、$\textrm{C}[0] = \textrm{C}[0] \cdot \textrm{e}^{\{j \cdot 0 \cdot w_1 \cdot t \}} $ を考慮すると複素フーリエ級数展開
\begin{align*} f(t) = \sum_{k = -\infty}^{\infty} \left \{ \textrm{C}[k] \cdot \textrm{e}^{\{j \cdot k \cdot w_1 \cdot t \}} \right \} \end{align*}
になります。
以上をまとめると次の事が言えます。
ある周期性時間領域アナログ信号 $f(t)$ が
\[ f(t) = a_0 + \sum_{k=1}^{\infty} \left \{ a_k \cdot \cos (k \cdot w_1 \cdot t + \phi_k) \right \} \]
と実フーリエ級数展開できるとき、複素フーリエ係数は次の式で求められる。
ただし $k \geq 1$ とする。
\begin{align*} \textrm{C}[0] &= a_0 \\[5pt] \textrm{C}[k] &= \frac{a_k}{2} \cdot \textrm{e}^{\{j \cdot \phi_k \}} \\[5pt] \textrm{C}[-k] &= \frac{a_k}{2} \cdot \textrm{e}^{\{-j \cdot \phi_k \}} \end{align*}
こうやって求めた複素フーリエ係数を使って $f(t)$ は
\begin{align*} f(t) = \sum_{k = -\infty}^{\infty} \left \{ \textrm{C}[k] \cdot \textrm{e}^{\{j \cdot k \cdot w_1 \cdot t \}} \right \} \end{align*}と複素フーリエ級数展開することもできる。
逆に複素フーリエ級数展開から実フーリエ級数展開に変換するには次のようにします。
ある周期性時間領域アナログ信号 $f(t)$ が
\begin{align*} f(t) = \sum_{k = -\infty}^{\infty} \left \{ \textrm{C}[k] \cdot \textrm{e}^{\{j \cdot k \cdot w_1 \cdot t \}} \right \} \end{align*}
と複素フーリエ級数展開できるとき、実フーリエ級数のパラメータは次の式で求められる。
ただし $k \geq 1$ とする。
\begin{align*} a_0 &= \textrm{C}[0] \\[5pt] a_k & = 2 \cdot |\textrm{C}[k]| \\[5pt] \phi_k &= \angle \textrm{C}[k] \end{align*}
こうやって求めたパラメータを使って $f(t)$ は
\[ f(t) = a_0 + \sum_{k=1}^{\infty} \left \{ a_k \cdot \cos (k \cdot w_1 \cdot t + \phi_k) \right \} \]と実フーリエ級数展開することもできる。